Moshera

Publicamos una vez más Álgebra Lineal. Esta nueva edición tiene el propósito de servir al estudiante de la mejor manera posible. Con respecto a la edición anterior (1993) se han ampliado algunos temas y mejorado otros con ejemplos y ejercicios nuevos; pero fundamentalmente, esta edición contiene la solución de los ejercicios más importantes y las sugerencias de muchos otros.
Esta edición, en formato grande y excelente diagramación, fue hecha por el Mg. Oswaldo Velásquez Castañón, matemático joven y promisorio, quien también ha simplificado muchas demostraciones y realizado sugerencias acertadas, que han mejorado el libro en su conjunto. Le expreso mi más sincero agradecimiento al profesor Velásquez.
Finalmente, debo agradecer a la juventud estudiosa de las distintas universidades del Perú, que me honran con su preferencia.

LA EDITORIAL MOSHERA, en su afán de brindar cada vez un mejor material educativo a la comunidad estudiantil de las áreas de Ciencias e Ingeniería, ha tenido la iniciativa en esta oportunidad de preparar y publicar un nuevo libro, en esta ocasión el SOLUCIONARIO del ya conocido libro FÍSICA II (Lic. Humberto Leyva N. / Ing. Tania Leyva R.) con los temas que dicho texto contiene:
• Elasticidad
• Oscilaciones
• Movimiento Ondulatorio
• Hidrostática
• Hidrodinámica
• Temperatura y Dilatación
• Calor – Propiedades de los Gases y Primera Ley de la Termodinámica
• Entropía y Segunda Ley de la Termodinámica.

Es propicio resaltar que esta nueva publicación ha sido posible gracias a la muy valiosa colaboración de los ingenieros (UNI): César Esteban Chávez y Javier Enrique Arauco; quienes con su amplia experiencia, han analizado cuidadosamente cada problema y redactado la solución más adecuada para una fácil comprensión de los lectores.

Estamos seguros, que este libro será de gran provecho para aquellos estudiantes que se interesan en aprender Física.
Los Autores

La EDITORIAL MOSHERA, en su afán de brindar cada vez un mejor material educativo a la comunidad estudiantil de las áreas de Ciencias e Ingeniería, ha tenido la iniciativa en esta oportunidad de preparar y publicar un nuevo libro, en esta ocasión el SOLUCIONARIO del ya conocido libro FÍSICA I (Lic. Humberto Leyva N. / Ing. Tania Leyva R.) con los temas que dicho texto contiene:
– Vectores
– Cinemática
– Dinámica
– Estática
– Trabajo y Energía
– Dinámica de un Sistema de Partículas
– Dinámica de Rotación
Es propicio resaltar que esta nueva publicación ha sido posible gracias a la muy valiosa colaboración de los ingenieros (UNI): César Esteban Chávez y Javier Enrique Arauco, quienes con su amplia experiencia, han analizado cuidadosamente cada problema y redactado la solución más adecuada para una fácil comprensión de los lectores.
Estamos seguros, que este libro será de gran provecho para aquellos estudiantes que se interesan en aprender física.

El contenido de este libro, comprende un curso básico sobre la teoría Electromagnética.
En su primera parte (Electrostática), se estudia los fenómenos relacionados con la carga en reposo. (fuerza, campo, potencial, condensadores y dieléctricos).
En la segunda parte (Magnetismo) se estudian los efectos que produce la carga en movimiento (Corriente eléctrica, campo magnético, inducción electromagnético).
En total hay 493 problemas resueltos y 344 problemas propuestos con su respectiva respuesta.
Se da un conjunto de catorce exámenes de teoría, práctica y laboratorio, cuya respuesta se presenta en cinco alternativas.
Al final se tienen tablas de coordenadas cartesianas, polares cilíndricas y esféricas; funciones trigonométricas, desarrollo en serie y por último derivadas e integrales.

Después de algunos años de experiencia en el dictado, del curso de ecuaciones ordinarias, nivel básico, ha sido posible mejorar, luego de sucesivas revisiones y ampliaciones, para presentar el libro como texto de consulta.
Cada capítulo, está hecho en forma ordenada y descrita en forma muy didáctica de fácil y versátil lectura que ayudará a entender, cada tema, al lector interesado.
Cada tema ha sido reforzado con diversas aplicaciones que hoy día necesitan los estudiantes de Ciencia e Ingeniería.
El capítulo I, es una breve presentación de las ecuaciones diferenciales, partiendo del concepto de la derivada de una función continua que depende de una sola variable.
El capítulo 2, se refiere a las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, aquí se desarrolla desde la definición hasta los métodos de resolución de las ecuaciones con variables separables, ecuaciones diferenciales exactas, homogéneas y Bernoulli.
El capítulo 3, trata de las ecuaciones diferenciales lineales, de orden uno, orden dos y orden superior. Al término del capítulo se agregan aplicaciones a la economía.
El capítulo 4, trata exclusivamente de las diversas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales: aplicaciones a la economía, aplicaciones a los circuitos lógicos, aplicaciones a trayectorias ortogonales, modelos de crecimiento poblacional, decaimiento radioactivo, modelos de crecimiento poblacional, la ecuación logística y ley de enfriamiento de Newton.
Estamos seguros que el libro será una buena ayuda para el aprendizaje de cualquier lector que se interese por las ecuaciones diferenciales.

El autor ha planteado trece capítulos en esta iniciación matemática que, en orden son:
– Números Reales
– Sistema de Coordenadas Cartesianas en el Plano
– Relaciones de IR en IR
– La línea Recta
– La Circunferencia
– La Parábola
– La Elipse
– La Hipérbola
– Rotación de los Ejes Coordenados
– Vectores en IR
– Coordenadas Polares
– Números Complejos
– Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales.
Además de poner especial cuidado en las definiciones y en las proposiciones, los ejemplos y problemas, se plantean fundamentalmente recurriendo a la intuición gráfica, un método que el estudiante debe aprender a explorar su imaginación. Logrado este paso, empieza el razonamiento formal de las matemáticas, que es su objetivo principal.

Mediante un lenguaje coloquial, sin transgredir la rigurosidad del Álgebra Lineal, se explica al lector los movimientos y trazos que se producen en un vector cuando se hace una transformación lineal.
Los niños de Educación Primaria, podrían aprender el Álgebra Lineal trazando puntos y rectas para obtener figuras geométricas en el plano, usando papel cuadriculado.
Los estudiantes del último año de secundaria y bachillerato, además de dibujar vectores, también pueden hallar la representación matricial de una transformación lineal de manera sencilla ordenando números en filas y columnas.
El aprendizaje intuitivo, mediante dibujos geométricos en el plano, irá desarrollando el pensamiento lógico y abstracto en cada estudiante.
Esperamos que este nuevo texto pueda contribuir en el mejoramiento de la enseñanza de las matemáticas en nuestro país, ayudando a preparar a los profesores de la especialidad con un sentido de actualización científica y tecnológica, que los tiempos modernos así lo exigen.

Lo novedoso de este libro, es el enfoque vectorial que se le ha dado a la Geometría Plana.
Para los estudiantes de Matemáticas, Física e Ingenierías será muy útil este libro. He tenido cuidado de respetar las definiciones matemáticas formales, dándole una presentación geométrica cuando
ha sido necesario.
El libro tiene seis capítulos:
Vectores en IR, la recta en IR, la circunferencia, transformación de coordenadas, secciones cónicas y forma cuadrática.
Los dos últimos capítulos son los más importantes de éste libro, porque el enfoque es aplicando el ÁLGEBRA LINEAL. Sugiero a los lectores respetar las definiciones y los teoremas, para que en base a ellos se puedan resolver con facilidad, cualquier problema de un libro.
Mi mayor empeño y cuidado, como profesor universitario de larga experiencia, ha sido enseñar las matemáticas poniendo todo el empeño didáctico para el entender y el buen proceso de enseñanza aprendizaje.

Este libro de álgebra lineal y sus aplicaciones es el fruto de mis experiencias como docente universitario en diversas instituciones educativas del país.
Los seis capítulos aquí expuestos serán de gran ayuda para la comprensión de estos temas, para los alumnos que siguen estudios en las diversas ingenierías que existen en el Perú.
Los temas aquí expuestos son un gran apoyo complementario para los estudiantes, porque aquí encontrará diversos problemas resueltos, además de una teoría comprensible y muy accesible.
En el capítulo 1, se dan algunos lineamientos y definiciones básicas de las ecuaciones lineales y matrices.
En el capítulo 2, se presentan definiciones y diversos problemas para la comprensión de los espacios vectoriales.
En el capítulo 3, se estudian los espacios con producto interno, como también la ecuación en el plano.
En el capítulo 4, se estudian las transformaciones lineales, presentando definiciones básicas y diversos problemas.
En el capítulo 5, estudiaremos brevemente las determinantes de las matrices y el significado de estas en el álgebra lineal.
En el capítulo 6, se expondrá los lineamientos y definiciones de los valores y vectores propios asociados a una matriz.

El presente curso de Álgebra lineal está enfocado hacia alumnos procedentes de ciencias, de Ingeniería y Economía que vayan a seguir retos en los que su formación académica jugarán un papel preponderante.
El libro consta de ocho capítulos, en los que se trata:
CAPÍTULO 1: Matrices y determinantes, dos temas instrumentales de aplicación práctica que son prerrequisitos para los siguientes capítulos.
CAPÍTULO 2: Sistema de ecuaciones lineales, aquí destacamos la gran importancia de las ecuaciones lineales consistentes.
CAPÍTULO 3: Espacios vectoriales, es la puerta de entrada para definir una estructura algebraica, que es el cimiento del álgebra lineal. Sobre el espacio vectorial euclidiano bidimensional y tridimensional se harán las aplicaciones geométricas que son posibles de ser algebrizados. Sobre otros espacios vectoriales abstractos se definirán temas importantes del análisis.
CAPÍTULO 4: Transformaciones Lineales, aquí lo destacable es la aplicación geométrica, en lo particular a lo referente a las isometrías. Este capítulo es el preámbulo de los operadores lineales y sus diversas aplicaciones.
CAPÍTULO 5: Valor propio y Vector propio, dos temas ligados entre sí, cuyas aplicaciones son de gran importancia no solo en la geometría, sino también en el Análisis porque simplifican la resolución de problemas complicados de la geometría y de los sistemas dinámicos en especial.
CAPÍTULO 6: Las formas racional y de Jordan, son dos temas que nos permiten presentar a las transformaciones lineales de manera muy simple cuando es posible hallar nuevas bases a partir de los polinomios característicos y minimal.
CAPÍTULO 7: Espacios con producto interno, es uno de los temas muy importantes del Álgebra Lineal, porque es la base para definir los espacios normados y los espacios métricos, piezas fundamentales del análisis. Se destaca en este capítulo la adjunta de un operador lineal, cuya formalización nos permite hacer interesantes definiciones del Álgebra Lineal.
CAPÍTULO 8: Algunas aplicaciones lineales, en este capítulo hemos destacado dos aplicaciones del Álgebra Lineal: rotación de ejes cartesianos (formas cuadráticas) y la resolución de sistemas dinámicos lineales.

La economía busca la forma duplicar, la táctica moderna bien con el fin de maximizar su utilidad. Igualmente, el productor coloca en el mercado un bien, sabiendo y conociendo que va a satisfacer a los consumidores. Entonces el productor buscará maximizar sus ganancias y minimizar sus costos.
Las formulaciones económicas han sido posibles gracias a la matemática. Diversos investigadores han ido formulando modelos de optimización para variables continuas y para variables discretas, naciendo así una nueva y fructífera disciplina de las matemáticas aplicada a la economía.
Si el lector tiene nociones de las derivadas, de las matrices, de las ecuaciones diferenciales y de las ecuaciones en diferencias; están predispuestos para leer y aprender la teoría dinámica de la economía.
La forma sencilla de presentar y explicar los temas en éste libro será del agrado de todo lector que tiene interés de aprender temas matemáticos relacionados con la economía. El tema central que se enfoca en éste libro es la teoría de control y elementos de programación dinámica que corresponde a una importante parte de la optimización.Para un mejor y más fácil aprendizaje del capítulo referente a sistemas dinámicos, presentamos diversos diagramas de flujo, que sistemáticamente y ordenadamente el lector podrá aprender desde su comienzo hasta su etapa final en la resolución de problemas.

Este libro se ha escrito para estudiantes de las diversas carreras de Ingeniería, Arquitectura y Economía que tienen el ánimo de aprender cuatro temas fundamentales: el plano, la recta, la superficie y la recta en el espacio tridimensional.
Cada tema se ha presentado de forma elegante recurriendo a la intuición, haciendo diversas ilustraciones gráficas.
El capítulo 1, trata del estudio del plano y sus diversas ecuaciones: la ecuación cartesiana y la ecuación vectorial del plano. De las ecuaciones cartesianas se deducen las funciones lineales en dos variables, que son importantes para modelar en problemas de programación lineal con tres variables. Las formas vectoriales son muy importantes para la Geometría Diferencial.
El capítulo 2, trata de las rectas en el espacio tridimensional. Hay dos formas de presentar una recta: como la intersección de dos planos o la forma vectorial. La forma vectorial es la más importante, pues ella nos permite expresar la trayectoria rectilínea de una partícula o puede ser resultado de alguna tangente a una curva.
El capítulo 3, trata de las superficies en el espacio tridimensional. Su gráfica y su representación paramétrica son las notas más importantes, para hallar áreas de regiones sobre la superficie y para el estudio analítico de las propiedades intrínsecas de las superficies tales como su curvatura y el teorema de Gauss Bonet, cuyo estudio corresponde a la Geometría Diferencial.
El capítulo 4, trata de las curvas en IR3 y sus propiedades intrínsecas: la curvatura y la torsión.
Cada capítulo viene reforzado por diversos y variados problemas que permitirán al lector mejorar su aprendizaje.

Vectores en R2 y R3 – Moisés Lázaro

Series de Fourier – Moisés Lázaro

El curso Relaciones y funciones de R en R es el curso introductorio del área de Matemáticas. La finalidad de este curso es que el estudiante adquiera las herramientas necesarias para aplicar en la resolución de ejercicios y problemas, los conceptos básicos y las propiedades fundamentales del Álgebra, Relaciones de R en R, el concepto de función y problemas de aplicación.
Este material se caracteriza por brindar un tratamiento dinámico a los contenidos matemáticos, lo que se refleja al incluir algunos ejemplos iniciales o problemas de aplicación que justifiquen la presentación y formalización de los conceptos matemáticos involucrados. Luego de este acercamiento a las funciones y propiedades fundamentales, se trabajan problemas de mayor complejidad que para ser resueltos requieren la comprensión, conexión y aplicación de los resultados anteriores.

Este libro es el primer tomo de análisis 1, el segundo tomo es referente a la derivada de una función real de variable real y sus aplicaciones.
En este libro revisado, agregado y mejorado comprende 4 capítulos:
1. Puntos de Acumulación
2. Sucesiones de Números Reales
3. Límites de una Funciones Reales de Variable Real
4. Funciones Continuas
Al reeditar el presente libro no podía dejar de hacer el primer capítulo, porque el concepto de punto de acumulación justifica el estudio de límite de una sucesión y de límite de una función.
En cada capítulo se hace una detallada y cuidadosa exposición de la teoría y de los teoremas más importantes que son el esqueleto y fundamento de todo tema de análisis matemático, siempre acompañado de ejemplos aclaratorios de innumerables ejercicios propuestos.
El presente libro es una combinación de cálculo y análisis. Para un curso de cálculo bastará tomar de este libro sólo las definiciones más elementales y luego los problemas prácticos en los cuales se hacen cálculos y gráficos que serán suficientes para tener nociones básicas del cálculo. Cuando se requiere fundamentar algunas nociones matemáticas será, entonces preciso consultar los teoremas que son las únicas proposiciones válidas para justificar proposiciones.
Para un curso propiamente de Análisis, se requiere el estudio de las definiciones y de los teoremas, tratándolos con sumo cuidado, sin alterar las de proposiciones tergiversar el enunciado de los teoremas y cuidando su rigurosidad. En el curso de cálculo se puede omitir los capítulos I y II, siendo suficiente el estudio de los capítulos III y IV que son prerrequisito para continuar con el estudio de las derivadas.
En cada capítulo se proponen diversos problemas para que el estudiante revise con el asesoramiento de su profesor, si se presenta alguna duda.
Una recomendación al lector: un libro de matemáticas no se puede leer como un diario o una novela, el alumno tiene que tomar lápiz y papel para volver a escribir la definición sin alterarla, puede tomar los mismos ejemplos y resolverlos por su cuenta, verificándolos después; es una manera muy simple de estudiar matemáticas. Algunas veces hay que recurrir a las gráficas y a la imaginación, fuentes del desarrollo intelectual.
Al final del libro, he planteado una miscelánea de problemas que servirán para reforzar el proceso de enseñanza aprendizaje.

Con el título de Análisis Matemático IV (Cálculo vectorial) publicamos el presente libro y constituye una condensación de seis capítulos bien diferenciados y expuestos con claridad sobre temas de Integración del Análisis Vectorial, más precisamente del Cálculo Vectorial.
El prerrequisito para leer este libro es el cálculo integral, el gráfico de superficies en el espacio IR, la parametrización de curvas y la parametrización de superficies.
El capítulo 1, trata sobre integrales dobles y sus aplicaciones. Contiene: temas de integrales dobles sobre diversas clases de regiones en IR, cambio de variables en las integrales dobles, integrales dobles en coordenadas polares y coordenadas polares modificadas, transformaciones para cambio de variables.
El capítulo 2, trata sobre las integrales triples y sus aplicaciones. Contiene: cambio de variables con integrales triples, aplicaciones de las coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas y coordenadas esféricas modificadas; momentos, centroides, el teorema de Pappus y el momento de inercia.
El capítulo 3, trata sobre integrales de líneas. Contiene: temas relativos a las integrales de línea sobre campos escalares con respecto a la longitud arco, aplicaciones de la integral curvilínea de primera especie a la mecánica, masa de una curva, centro de gravedad de una curva, integral de línea de campos vectoriales a lo largo de un camino, gradiente de un campo vectorial y función potencial.
El capítulo 4, trata sobre el teorema de Green sobre regiones conexas y múltiplemente conexas.

Este texto ha sido desarrollado para consulta de estudiantes de matemática, física y de ingenierías. Cada capítulo tiene contenido teórico y varios ejemplos de aclaración. Cabe resaltar que los autores han tenido especial cuidado de redactar ordenadamente cada definición y cada teorema, respetando el rigor y la formalidad de cada tema. El texto tiene 12 capítulos que cubren el programa del cálculo de funciones reales de variable real. Cada capítulo tiene su sustento teórico que todo lector debe comprender y saber aplicar en los diversos problemas que se le presentan.

Este libro expone las técnicas de Integración de funciones reales de variable real y sus aplicaciones, explicados de una manera sencilla y fácil de entender. Es un gran complemento para los cursos que hacen uso de las integrales indefinidas y definidas tales como los cursos de Física y los cursos de ecuaciones diferenciales ordinarias básicas.
No es un libro de Análisis Matemático de las integrales de funciones reales de variable real, sino un libro de Cálculo Integral, cuya única finalidad es dar pausas precisas del buen manejo de las fórmulas elementales de las antiderivadas de las funciones polinómicas, racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc. a su vez, explicar los diversos métodos de integración. Para aprender el Cálculo Integral, sólo se requiere saber el álgebra elemental y un poco de trigonometría.
Este libro, se ha preparado pensando en los estudiantes que requieren aprender el Cálculo Integral, que se estudia en los primeros ciclos de la Universidad o Institutos Superiores.
En dos capítulos se cubren dos temas del Cálculo Integral: el primer capítulo se refiere a las técnicas de integración y el segundo capítulo se refiere a las aplicaciones del Cálculo Integral en lo que respecta al Cálculo de Áreas en sus formas rectangular, paramétrica y polar.
Al final de cada capítulo se dan problemas propuestos que todo lector debe entrenarse.

Lógica y teoría de conjuntos – Moisés Lázaro